Metoda inductiei matematice

1. METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE

Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:

O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nk atunci sunt satisfacute simultan conditiile:

a) Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kN

b) (P(k), kn) P(n+1), () nk, adica presupunem P(k) adevarata pentru orice kn rezulta p(n+1) adevarata, pentru orice nk.

2. PERMUTARI

Fie E={1, 2, �,n} o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E -> E.

Notam permutarea in felul urmator

Notam numarul de permutari Pn: Pn= n!=1.2.3�n

conditie de existenta: nN

conventie: 0!=1 ; 1!=1

Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!

3. ARANJAMENTE

Notam cu Ank

Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (nk), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k.

Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)�(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1

c.e. nk

conventie: n=k Ann=Pn

4. COMBINARI Cnk

conventie: Cn0=Cnn=1 c.e. nk

Formule pentru combinari complementare: Cnk=Cnn-k

Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1

5. BINOMUL LUI NEWTON

Daca a, bR, nN, atunci:

(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+�+Cnkan-kbk+�+Cnn-1abn-1+Cnnbn

sau

Tk+1=termen general

k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii

(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2-�+(-1)n-kCnkan-kbk+�+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCnnbn

sau

Obs: 1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni.

2) Cn0, Cn1, Cn2,�,Cnn se numesc coeficienti binomiali

3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen.

4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia:

5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci:

Cn0+Cn1+Cn2+�+Cnn=2n

Cn0+Cn2+Cn4+�=Cn1+Cn3+Cn5+�=2n-1

6) Identitatile utile:

a) Cnk=Cn-1k-1+Cn-2k-1+�+Ck-1k-1

b) Cn+kk=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+�+CnkCm0

7) Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale

Fie k1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+�+nk

Folosim dezvoltarea (a+1)2=a2+2a+1 pentru demonstratie unde a=1,2,�n.

Folosim dezvoltarea (a+1)3=a3+3a2+3a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,�n.

Folosim dezvoltarea (a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,�n

Caz particular

6. PROGRESII ARITMETICE SI GEOMETRICE

Teorema : Fie numerele an-1, an, an+1 in progresie aritmetica. Atunci:

2an=an-1+an+1

Def: Fie numerele a1, a2, a3,�,an in progresie aritmetica, daca an=a1+(n-1)r sau an=an-1+1, unde: an= ultimul termen

a1=primul termen

an-1=penultimul termen

n=numarul de termeni

r=ratia progresiei aritmetice

Obs: Pentru verificare r=a2-a1=a3-a2=a4-a3=�=an-an-1

Teorema: Fie numerele bn-1, bn, bn+1 in progresie geometrica. Atunci

bn2=bn-1.bn+1

Def: Fie numerele b1, b2,�bn in progresie geometrica, daca bn=b1.qn sau bn=bn-1.q unde: bn=ultimul termen

b1=primul termen bn-1=penultimul termen n=numarul de termeni q=ratia progresiei geometrice

Obs: pentru verificare q=a2/a1=a3/a2=�=an/an-1

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s


%d blogeri au apreciat asta: